Resumen

El propósito de este trabajo es presentar un estudio sobre la estabilidad de una línea de transmisión con carga no lineal, en dos modalidades, la primera como una línea con parámetros concentrados y la segunda como una línea con parámetros distribuidos. Para ambos casos se utiliza la misma carga, un diodo tunel, ya que por sus características de ser un oscilador no lineal con múltiples puntos de equilibrio, representa un buen ejemplo para simular una carga no lineal en una línea de transmisión.

La conexión de este trabajo teórico con la práctica, se puede encontrar en [5], [8], [12] y [20], donde se especifica como se están desarrollando nuevas tecnologías que permiten diversificar la transmisión de grandes cantidades de energía, por medio de: líneas de transmisión de corriente directa (HVDC Systems por sus siglas en inglés); mejoras en la estabilidad de voltaje y de potencia en sistemas de generación; sistemas de generación que incluye operación conjunta de generadores síncronos y asíncronos; implementar compensadores estáticos el líneas de gran longitud de corriente alterna; sistemas de transmisión de corriente alterna flexibles (FACTS, por sus siglas en inglés), etc.

Estamos hablando de sistemas reales de transmisión y generación, donde se utilizan como herramientas de análisis los ciclos límite, puntos de equilibrio que pueden ser nodos estables, nodos inestables o puntos de silla, utilización de retratos de fase y determinar la estabilidad de los múltiples puntosde equilibrio principalmente, mediante el concepto de estabilidad en el sentido de Lyapunov.

El trabajo aquí presentado se ubica en los trabajos de líneas de corriente directa, limitado al análisis de estabilidad de una solo línea.

La línea con parámetros concentrados, presentada en el Capítulo 3 se realiza bajo el enfoque de la estabilidad en el sentido de Lyapunov, que toma como referencia los trabajos efectuados en [3] y [13], y la línea con parámetros distribuidos, se propone bajo el enfoque de una línea sin pérdidas utilizando como herramientas para el análisis de la estabilidad, las funcionales de Lyapunov Krasovskii y las desigualdades de matrices lineales del Control Toolbox de Matlab, tomándose como referencia los trabajos de [1] y [16], principalmente, aunque también se mencionan otras aportaciones.

En los trabajos anteriores, para ambos casos, el análisis de estabilidad se realiza utilizando una línea de transmisión con parámetros propuestos de manera didáctica y para la línea sin pérdidas, se utiliza una carga no lineal no definida. En este estudio, una aportación es la utilización para ambos casos los parámetros reales de impedancia y longitud de una línea de transmisión preparada exprofeso, y la carga no lineal es representada por un diodo tunel comercial. Por otra parte, de acuerdo a los trabajos de [2], [10] y [11] el análisis se establece para una línea de transmisión sin

pérdidas, para un sistema en un sólo punto de equilibrio, a diferencia del modelo de la línea sin pérdidas presentado aquí, que incluye tres puntos de equilibrio.

Siendo el análisis de estabilidad más complejo en las líneas de transmisión con parámetros distribuidos que con parámetros concentrados, ya que el sistema bajo consideración es descrito por ecuaciones diferenciales funcionales con retardo de tiempo. En [10] y [11], se puede encontrar el interés que este tema ha despertado en las últimas dos décadas, resaltando [7] y [14], donde se puede destacar que las primeras publicaciones datan de finales de los años sesentas y las últimas fueron publicadas recientemente (2002 y 2004), por lo que se considera un tema que todavía no está terminado.

El primer capítulo se dedica a comentar sobre las características de los sistemas dinámicos, clasificándolos en sistemas no lineales, lineales y linealizados; donde se hace una recopilación de las herramientas matemáticas del algebra lineal y las ecuaciones diferenciales que soportan el análisis que se utilizará en capítulos posteriores.

Cabe resaltar en este capítulo una de las herramientas de análisis para determinar el comportamiento de un sistema escencialmente no lineal, llamado el retrato de fase, un método gráfico que permite detectar las trayectorias dinámicas o comportamiento de un sistema representado por un conjunto de ecuaciones diferenciales, y que además proporciona información sobre los puntos de equilibrio y los valores propios, que son elementos indispensables para establecer los criterios de estabilidad del sistema.

El segundo capítulo inicia con el concepto matemático de un sistema autónomo, definido por un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde se indica si la estabilidad de un punto de equilibrio es estable, asintóticamente estable o inestable. La estabilidad en el sentido de Lyapunov, es el siguiente concepto que se revisa, aquí se establecen los teoremas que definen la estabilidad, inestabilidad y la estabilidad asintótica de un sistema. Una de las ventajas del Segundo Método de Lyapunov, es que es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales, sistemas variantes como invariantes en el tiempo, y que además no se requiere de los difíciles despejes o solución de complejas ecuaciones diferenciales, sino solo de determinar su comportamiento.

En la tercera parte, se establece el análisis de estabilidad para una línea real, tomando el modelo de una línea de transmisión corta que tiene como carga un diodo tunel en paralelo con una capacitancia. En esta parte, se aplican la teoría de circuitos eléctricos en el espacio de estados, los conceptos de sistemas dinámicos lineales y no lineales y la teoría de estabilidad de Lyapunov.

La parte gráfica se obtiene con Matlab y Simulink, en la simulación del circuito propuesto,

se introducen gráficos que indican claramente la estabilidad de los puntos de equilibrio que se presentan en este sistema. Una aportación que se hace en este trabajo es que el circuito de la línea de transmisión con parámetros concentrados, se hace con valores reales obtenidos de los datos del fabricante del cable adquirido exprofeso, además, se selecciona un diodo tunel comercial, a diferencia de las referencias bibliográficas consultadas, donde los parámetros del circuito son puramente didácticos.

Para el capítulo cuatro, el modelo se cambia a una línea de transmisión sin pérdidas con parámetros distribuidos, donde se presenta un manejo más complejo debido a que el sistema se establece como una ecuación diferencial funcional lineal con incertidumbres y con retardo. La base de este análisis se toma de la referencias bibliográficas [1] y [14] donde el análisis de estabilidad se establece a través de la solución del sistema neutral con retardo por medio de desigualdades de matrices lineales.

El análisis de estabilidad en estas referencias y otras que tratan el tema, es realizado para una línea de transmisión, donde se incluye los parámetros de manera didáctica y una carga no lineal sin especificar, en este documento el análisis es realizado una línea de transmisión donde los parámetros se determinan analíticamente de una línea real y el elemento específico de la carga no lineal es el diodo tunel 1N3712. Adicionalmente, al final se presenta una simulación de la solución, la cual se deriva de la solución de la ecuación por medio del método de paso a paso [7].

Cabe mencionar que todas las simulaciones se efectuaron en Matlab y Simulink, primordialmente por ser uno de los programas más comúnmente utilizados para ingeniería en general y para el área de control en particular, además de contar con la caja de herramientas de desigualdades de matrices lineales, que se aplica en el capítulo 4. Los programas utilizados se presentan en el Anexo A.

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Rodríguez Lozoya, R. J. 2006. Análisis de estabilidad de una línea de transmisión con carga no lineal. Tesis Maestría. Ciencias con Especialidad en Ingeniería Electrónica. Departamento de Computación, Electrónica, Física e Innovación, Escuela de Ingeniería y Ciencias, Universidad de las Américas Puebla. Mayo. Derechos Reservados © 2006.