Tesis profesional presentada por Rafael Torres Ruiz

Licenciatura en Matemáticas. Departamento de Física y Matemáticas. Escuela de Ciencias, Universidad de las Américas Puebla.

Jurado Calificador

Presidente: Dr. Jan Joachim Rückmann
Secretario y Director: Dr. Guillermo Aurelio Romero Meléndez
Vocal: Dr. Francisco González Acuña

Cholula, Puebla, México a 22 de agosto de 2003.

Resumen

La pregunta central es si el homomorfismo de grupos G -> ~G es inyectivo, donde ~G es el grupo formado al agregar un generador y una relación a la presentación de G. Explícitamente, ~G = G*<t>/<<w>>, donde <<w>> es la clausura normal de la palabra w. G*<t> denota el producto libre de un grupo libre de torsión G con un grupo cíclico infinito de generador t.

Por otra parte, se tiene la siguiente traducción topológica de la pregunta central:

si dado un complejo M, con pi1(M)/=1, se agrega una 1-celda e1 a M para formar M U e1 y después se le adhiere una 2-celda e2 y así obtener L = M U e1 U e2.

Entonces pi1(L)/= 1.

A esto se le conoce como la Conjetura de Kervaire, la cual ya ha sido probada para varios tipos de grupos, mas en general permanece abierta. En 1993, Klyachko prueba la conjetura de Kervaire para grupos libres de torsión: un grupo libre de torsión no puede ser trivializado al agregar un generador y una relación a su presentación. Para lograr esto, hace uso de una propiedad curiosa de la 2-esfera. Desafortunadamente, dicho artículo padece de un mal uso del idioma inglés, por lo que en 1996, Fenn y Rourke arreglan tales deficiencias y extienden los resultados. En esta tesis se exponen los métodos utilizados por Klyachko al desglosar el artículo de Fenn y Rourke. A su vez se demuestra el enunciado de mayor fuerza allí sugerido.


Palabras clave:
Conjetura de Kervaire, libre relativo

Índice de contenido

Agradecimientos (archivo pdf, 8 kb)

Capítulo 1. Introducción (archivo pdf, 34 kb)

Capítulo 2. Conceptos y notación (archivo pdf, 163 kb)

  • 2.1 Grupos libres
  • 2.2 Presentación de un grupo
  • 2.3 Productos libres
  • 2.4 Solución de ecuaciones sobre un grupo
  • 2.5 Un poco de Topología
  • 2.6 Enfoque al problema central; nociones
  • 2.7 Preámbulo al problema central; ideas

Capítulo 3. Propiedad de la 2-esfera (archivo pdf, 94 kb)

Capítulo 4. Ecuación sin solución (archivo pdf, 211 kb)

  • 4.1 Un elemento de < G *< t >: R > vestido de gráfica
  • 4.2 Implicación de la insolubilidad sobre G

Capítulo 5. Problema de Kervaire para grupos libres de torsión (archivo pdf, 200 kb)

  • 5.1 Exhibición de los objetos empleados
  • 5.2 Teorema de solubilidad y aplicación de la herramienta de los capítulos 3 y 4
  • 5.3 Sobre la palabra w
  • 5.4 Truco algebraico
  • 5.5 Estructura de la nueva relación w
  • 5.6 Problema de Kervaire para el caso ex=1

Capítulo 6. Conclusiones (archivo pdf, 36 kb)

Referencias (archivo pdf, 24 kb)

Torres Ruiz, R. 2003. Solución de ecuaciones sobre grupos libres de torsión utilizando los métodos de Klyachko. Tesis Licenciatura. Matemáticas. Departamento de Física y Matemáticas, Escuela de Ciencias, Universidad de las Américas Puebla. Agosto. Derechos Reservados © 2003.